好彩36中奖规则:第五章中心极限定理(2)

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上节主要内容回顾 1.大数定律的含义。 2.引理 3.定理 5.2.1 4.定理5.2.2 5.定理5.2.3 6.定理应用

1

\f§5.3 中心极限定理

? 自从德国数学家Gauss指出测量误差服从正态分 布之后,人们发现,正态分布在自然界中极为常 见。例如炮弹的弹着点服从正态分布,人的许多 生理特征诸如身高、体重等也服从正态分布。 ? 观察表明,如果一个量是由大量相互独立的随机 因素综合作用的结果,而每一个随机因素在总的 结果中所起的作用又非常微小。 ? 则这个量通常都服从或近似服从正态分布。由此 产生了有关中心极限定理的研究。

2

\f定理复习

复习 X~N(μ,σ2) X ?? 定理 设X~N(μ,σ2), Y? , 则Y~N(0,1). ? 所以,若X~N(μ,σ2), 则 P(Xa??

?

) )? ? (

P(X>a)= 1 ? ?( a ? ? )

a??

P(a

b??

?

?

?

)

中心极限定理就是研究随机变量标准化和的分布函数 收敛于标准正态分布问题,这一点和大数定律的前n项 和的算术平均数收敛有很大相似。

3

\f定义 5.3.1 若独立随机变量序列 X 1 , X 2 ,?, X n ,? 的标准化和

Yn ?

?X

i ?1

n

i

? E (? X i )

i ?1 n

n

D (? X i )

i ?1

使得 lim P?Yn ? x? ?

n ??

1

2? ? ? 则称随机变量序列 ?Yn ? 服从中心极限定理 (The Central Limit Theorem) 。 从上述定义中可以看出: (1)由于当 Yn ~ N (0,) 时, 1

?

x

e

t2 ? 2

dt 恒成立,

4

\f? ? n ? ? n ?? ? X i ~ N ? E? ? X i ?, D? ? X i ? ? , ? ? ?? ? ? i ?1 ? ? i ?1 ?? ? ? i ?1 所以,概率论中论证随机变量和的极限分布是 正态分布的一系列定理统称为中心极限定理; (2)中心极限定理的结论描述的总是分布函数序列 ?Fn ( x) ? P?Yn ? x??收敛于标准正态分布的情况; (3)不同的中心极限定理研究了分布函数序列 ?Fn ( x) ? P?Yn ? x??不同的收敛条件。

n

5

\f几个常见的中心极限定理。

定理 5.3.1 设随机变量 X 1 , X 2 , ?, X n , ? 相互独立, 服从同一分布,且具有数学期望和方差: E ( X k ) ? ? , D( X k ) ? ? 2 ? 0 , (k ? 1,2, ?) ,

? n ? ? X k ? E? ? X k ? ? ? k ?1 ? k ?1 ?? 记 Yn ? ? n ? D? ? X k ? ? ? ? k ?1 ? 则恒成立

n

?X

k ?1

n

k

? n?

n?

,

2? 定理 5.3.1 称为林德贝格——勒维(Lindeberg-Levy) 中心极限定理,也称为独立同分布的中心极限定理。 证明略。

n ?? ??

lim P?Yn ? x? ?

1

?

x

e

t2 ? 2

dt

(5.3.1)

6

\f? Lindeberg-Levy中心极限定理有着非常广 泛的应用。在实际问题中,只要足够大, 便可以把独立同分布的随机变量之和当 作是正态随机变量来处理。 ? 这种做法在数理统计中使用得非\r

第五章 大数定理与中心极限定理

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