26选5过滤:2019年高考数学命题热点全覆盖专题09导数与不等式的解题技巧文

来源:互联网 由 2018年8月4号 贡献 责任编辑:李志  

广东26选5最新开奖视频 www.py6z.cn 专题09 导数与不等式的解题技巧

一.知识点

基本初等函数的导数公式

(1)常用函数的导数

①(C)′=________(C为常数); ②(x)′=________;

③(x2)′=________; ④′=________;

⑤()′=________.

(2)初等函数的导数公式

①(xn)′=________; ②(sin x)′=__________;

③(cos x)′=________; ④(ex)′=________;

⑤(ax)′=___________; ⑥(ln x)′=________;

⑦(logax)′=__________.

【详解】如图所示,直线l与y=lnx相切且与y=x+1平行时,切点P到直线y=x+1的距离|PQ|即为所求最小值.(lnx)′=,令=1,得x=1.故P(1,0).由点到直线的距离公式得|PQ|min=,

故选C.

(三)构造函数证明不等式

例3.【山东省烟台市2019届高三数学试卷】已知定义在(﹣∞,0)上的函数f(x),其导函数记为f'(x),若成立,则下列正确的是( ?。?p>A.f(﹣e)﹣e2f(﹣1)>0 B.

C.e2f(﹣e)﹣f(﹣1)>0 D.

【答案】A

【分析】由题干知:,x<﹣1时,2f(x)﹣xf′(x)<0.﹣1<x<0时,2f(x)﹣xf′(x)>0.构造函数g(x)=,对函数求导可得到x<﹣1时,g′(x)<0;﹣1<x<0,g′(x)>0,利用函数的单调性得到结果.

练习1.设是定义在上的偶函数的导函数,且,当时,不等式恒成立,若,,,则的大小关系是( )

A. B. C. D.

【答案】D

【分析】

构造函数,根据函数的奇偶性求得的奇偶性,再根据函数的导数确定单调性,由此比较三个数的大小.

【解析】构造函数,由于是偶函数,故是奇函数.由于,故函数上递增.由于,故当时,,当时,.所以,,,根据单调性有.故,即,故选D.

【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性,考查构造函数法比较大小,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.

练习2.设函数,的导函数为,且满足,则( )

A. B.

C. D.不能确定的大小

【答案】B

【解析】令g(x)=,求出g(x)的导数,得到函数g(x)的单调性,

【详解】令g(x)=,

则g′(x)==,

∵xf′(x)<3f(x),即xf′(x)﹣3f(x)<0,

∴g′(x)<0在(0,+∞)恒成立,故g(x)在(0,+∞)递减,

∴g()>g(),即>,则有

故选B.

练习3.定义在[0,+∞)上的函数满足:.其中表示的导函数,若对任意正数都有,则实数的取值范围是( ?。?p>A.(0,4] B.[2,4] C.(﹣∞,0)∪[4,+∞) D.[4,+∞)

【答案】C

【解析】由可得,令

,则,利用导数可得函数在区间上单调递减,从而由原不等式可得,解不等式可得所求范围.

【详解】∵,

∴,当且仅当,即时两等号同时成立,

∴“对任意正数都有”等价于“”.

由可得,

令,则,

∴.

令,

则,

∴当时,单调递增;当时,单调递减.

∴,

,

∴函数在区间上单调递减,

故由可得,

整理得,解得

∴实数的取值范围是.

故选C.

【点睛】本题难度较大,涉及知识点较多.解题的关键有两个,一是求出的最小值,在此过程中需要注意基本不等式中等号成立的条件,特别是连续两次运用不等式时要注意等号能否同时成立;二是结合条件中含有导函数的等式构造函数,并通过求导得到函数的单调性,最后再根据单调性将函数不等式转化为一般不等式求解.主要考查构造、转化等方法在解题中的应用.

(四)不等式中存在任意问题

例4.【安徽省皖南八校2019届高三第二次(12月)联考数学】已知函数,,对于,,使得,则实数的取值范围是

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】,,使得,可得,利用,的单调性、最值即可求得.

【详解】对于,,使得,

等价于

,

因为是增函数,由复合函数增减性可知

上是增函数,

所以当时,,

令,则,

时, ,,

所以只需,解得.

时,,,

所以只需,解得.

时,成立.

综上,故选D.

练习1.已知函数,函数(),若对任意的,总存在使得,则实数的取值范围是()

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】由题意,可得的值域包含于函数的值域,运用导数和函数的单调性和值域,即可求解.

【详解】由题意,函数的导数为,

时,,则函数为单调递增;

时,,则函数为单调递减,

即当时,函数取得极小值,且为最小值,

又由,可得函数的值域,

由函数在递增,可得的值域,

由对于任意的,总存在,使得,

可得,即为,解得,故选B.

【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用,以及导数在函数中的应用,其中解答中转化为的值域包含于函数的值域,运用导数和函数的单调性和值域是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,属于中档试题.

练习2.函数,,若对,,,则实数的最小值是_________.

【答案】14

【解析】利用导数以及指数函数的性质,分别求出函数f(x),g(x)的最值,将问题转为求f(x)min≥g(x)min即可.

【详解】,递减,在递增,所以,单调递增,,由已知对,,,可知只需f(x)min≥g(x)min

练习3.已知函数,且,,若存在,使得对任意,恒成立,则的取值范围是________.

【答案】

【解析】存在,使得对任意的,恒成立,即?,由上递增,可得,利用导数可判断上的单调性,可得,由?,可求得的范围;

【详解】的定义域为,,

时,,,为增函数,

所以;

若存在,使得对任意的,恒成立,

即?,

,

,为减函数,,

∴,,

故答案为:.

【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题,常用方法有:变量分离,参变分离,转化为函数最值问题;或者直接求函数最值,使得函数最值大于或者小于0;或者分离成两个函数,使得一个函数恒大于或小于另一个函数。

(五)数列与不等式

例5.【湖北省武汉市2019届12月高三数学试题】等差数列的前项和,若,,则下列结论正确的是( )

A., B.,

C., D.,

【答案】A

【解析】设f(x)=x3+2 018x判断函数的奇偶性以及函数的单调性,然后判断a8+a2011=2,且a2011<a8,推出结果.

【详解】设f(x)=x3+2 018x,则由f(﹣x)=﹣f(x)知函数f(x)是奇函数.

由f′(x)=3x2+2 018>0知函数f(x)=x3+2 018x在R上单调递增.

因为(a8﹣1)3+2 018(a8﹣1)=1,(a2011﹣1)3+2 018(a2011﹣1)=﹣1,

所以f(a8﹣1)=1,f(a2011﹣1)=﹣1,得a8﹣1=﹣(a2011﹣1),

即a8+a2011=2,且a2011<a8,

所以在等差数列{an}中,S2018=2 018?=2 018?=2 018.

故?。篈.

(六)极值点偏移与证明不等式

例6.【福建省福州市2018-2019学年高三第一学期质量抽测】已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程;

(2)函数与函数的图像总有两个交点,设这两个交点的横坐标分别为,.

(?。┣?img src="//wkrtcs.bdimg.com/rtcs/image?w=600&md5sum=f4cb72cf13e462c4c63931a5d1735e18&sign=8c4c28ebe7&rtcs_flag=2&rtcs_ver=3&l=webapp&bucketNum=150&ipr=%7B%22t%22%3A%22img%22%2C%22r%22%3A%22r_1%22%2C%22w%22%3A%22553.53%22%2C%22h%22%3A%22415.13%22%2C%22dataType%22%3A%22jpeg%22%2C%22c%22%3A%22word%2Fmedia%2Fimage63.png%22%7D" onerror="this.style.display='none'">的取值范围;

(ⅱ)求证:.

【答案】(1)(2)(?。?img src="//wkrtcs.bdimg.com/rtcs/image?w=600&md5sum=f4cb72cf13e462c4c63931a5d1735e18&sign=8c4c28ebe7&rtcs_flag=2&rtcs_ver=3&l=webapp&bucketNum=150&ipr=%7B%22t%22%3A%22img%22%2C%22r%22%3A%22r_1%22%2C%22w%22%3A%22553.53%22%2C%22h%22%3A%22415.13%22%2C%22dataType%22%3A%22jpeg%22%2C%22c%22%3A%22word%2Fmedia%2Fimage137.png%22%7D" onerror="this.style.display='none'">,(ⅱ)见解析

【解析】(1)求出的导数,求得切线的斜率,由得切点由点斜式方程可得切线的方程;

(2)(?。┖?img src="//wkrtcs.bdimg.com/rtcs/image?w=600&md5sum=f4cb72cf13e462c4c63931a5d1735e18&sign=8c4c28ebe7&rtcs_flag=2&rtcs_ver=3&l=webapp&bucketNum=150&ipr=%7B%22t%22%3A%22img%22%2C%22r%22%3A%22r_1%22%2C%22w%22%3A%22553.53%22%2C%22h%22%3A%22415.13%22%2C%22dataType%22%3A%22jpeg%22%2C%22c%22%3A%22word%2Fmedia%2Fimage10.png%22%7D" onerror="this.style.display='none'">与函数的图像总有两个交点转化为函数有两个零点的问题,进而研究的导数及图像即可.

(ⅱ)先由 (?。?得的单调性,分析出、不可能在同一单调区间内;设,将导到上,利用函数上单调性,欲证,只需证明,结合,只需证明.再构造,结合单调性即可证明结论 .

【详解】(1)解:由已知得,

∴∴,又∵,

曲线在点处的切线方程为:.

(2)(?。┝?,

∴,

得,;由得,易知,极大值点,

,当时,

即函数时有负值存在,在时也有负值存在.

由题意,只需满足,

的取值范围是:

(ⅱ)由题意知,,为函数的两个零点,由(?。┲?,不妨设,则,且函数上单调递增,欲证,

只需证明,而,

所以,只需证明.

令,则

∴.

,∴,即

所以,,即上为增函数,

所以,,∴成立.

所以,.

【点睛】

本题属于极值点偏移问题,主要考查函数与导数的综合应用能力,具体涉及到用导数来研究函数的单调性、极值,教学中的重点和难点.

练习1.已知函数 极小值为.

(1)求的值;

(2)任取两个不等的正数,且,若存在正数,使得成立,求证:.

【答案】(1); (2)见解析.

【解析】(1)求函数的导数,分类讨论,确定函数的单调性,即可得到结论;(2)求出后把,表示,再把作差后构造辅助函数,求导后得到构造的辅助函数的最小值大于0,从而得到,运用同样的办法得到,最后得到要证的结论.

【详解】(1)显然, , 令,解得.

时,若,为减函数;

若,为增函数,∴处取得极小值, ∴ 解得

时与题意不符,综上,.

(2)由(1)知,,

∴,∴,即.

=.

设,则

再设,则,上是减函数

∴,即,又

,即,∴, ∴,

同理可证得, ∴.

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性,由,得函数单调递增,得函数单调递减;解题的关键亦为其难点即通过构造函数和,利用函数的单调性和极值证明不等式,是一道难度较大的综合题型.

练习2.已知函数,.

(Ⅰ)当时,求函数在区间上的最值;

(Ⅱ)若,是函数的两个极值点,且,求证:.

【答案】(Ⅰ) 最小值为,最大值为; (Ⅱ)证明见解析。

【解析】(Ⅰ)求出函数f(x)的定义域,运用导函数判断函数的单调性,求解函数的最值即可.

(Ⅱ)x1,x2是函数的两个极值点,所以(x1)=(x2)=0.令通过及构造函数,利用函数的导数判断函数的单调性,推出,所以,即可证明结论.

【详解】

(Ⅰ)当时,,函数的定义域为,

所以,

时,,函数单调递减;

时,,函数单调递增.

所以函数在区间上的最小值为,

又,

显然

所以函数在区间上的最小值为,最大值为.

(Ⅱ)因为

所以,因为函数有两个不同的极值点,

所以有两个不同的零点.

因此,即有两个不同的实数根,

设,则,

时,,函数单调递增;

,,函数单调递减;

所以函数的最大值为。

所以当直线与函数图像有两个不同的交点时,,且

要证,只要证,

易知函数在上单调递增,

所以只需证,而,所以

即证,

记,则恒成立,

所以函数上单调递减,所以当

所以,因此.

练习3.已知函数.

(1)讨论的单调性;

(2)若存在两个极值点,证明:.

【答案】(1)见解析;(2)证明见解析.

【解析】 (1)首先确定函数的定义域,之后对函数求导,之后对进行分类讨论,从而确定出导数在相应区间上的符号,从而求得函数对应的单调区间;

(2)根据存在两个极值点,结合第一问的结论,可以确定,令,得到两个极值点是方程的两个不等的正实根,利用韦达定理将其转换,构造新函数证得结果.

【详解】(1)的定义域为,.

(i)若,则,当且仅当,,所以单调递减.

(ii)若,令得,或.

当时,;

当时,.所以在单调递减,在单调递增.

(2)由(1)知,存在两个极值点当且仅当.

由于的两个极值点满足,所以,不妨设,则.由于

,

所以等价于.

设函数,由(1)知,单调递减,又,从而当时,.

所以,即.

【点睛】该题考查的是应用导数研究函数的问题,涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件,在解题的过程中,需要明确导数的符号对单调性的决定性作用,再者就是要先保证函数的生存权,先确定函数的定义域,要对参数进行讨论,还有就是在做题的时候,要时刻关注第一问对第二问的影响,再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.

练习4.已知函数.

(1)求的单调区间;

(2)若有极值,对任意的,当,存在使,证明:

【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.

【解析】(1)求导数后根据a可分类讨论,找到导数大于零、小于零的解即可求出单调区间;

(2)由(1)有极值,则,由题设化简得,作差比较,构造函数,利用导数可得,进而可得,再利用由知上是减函数,即可得出结论.

【详解】

(1)的定义域为,

.

①若,则,所以上是单调递增.

②若,当时,,单调递增.

时,,单调递减.

(2)由(1)当时,存在极值.

由题设得

又,

.则.

令,则

所以上是增函数,所以

,所以,

因此

又由知上是减函数,

所以,即.

(七)构造函数

例7.【河北省衡水中学2019届高三第一次摸考】已知函数.

(1)讨论的单调性;

(2)当,为两个不相等的正数,证明:.

【答案】(1)时,在区间内为增函数;时,在区间内为增函数;在区间内为减函数; (2)见解析.

【解析】 (1)求出,分两种种情况讨论的范围,在定义域内,分别令求得的范围,可得函数增区间,求得的范围,可得函数的减区间;(2)设,原不等式等价于,令,则原不等式也等价于即.设,利用导数可得在区间内为增函数,,从而可得结论.

(2)当时,.不妨设,则原不等式等价于,

,则原不等式也等价于即..

下面证明当时,恒成立.

设,则,

在区间内为增函数,,即,

所以.

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明,属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点,利用导数证明不等主要方法有两个,一是比较简单的不等式证明,不等式两边作差构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出函数的最值即可;二是较为综合的不等式证明,要观察不等式特点,结合已解答的问题把要证的不等式变形,并运用已证结论先行放缩,然后再化简或者进一步利用导数证明.

练习1.设函数.

(1)若恒成立,求的取值范围;

(2)对函数图像上任意两个点,,设直线的斜率为(其中为函数的导函数),证明:.

【答案】(1)(2)证明过程详见解析

【解析】(1)恒成立即,利用导函数研究函数的单调性与极值即可;

(2)由要证,即证,令,,即证.

【详解】(1)解法一:

,

,

为减函数,在为增函数.

∴,

由已知,

所以所求范围为.

实数的最大值为.

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