188选号:2019届高考数学二轮复习第二部分专项二专题三2第2讲专题强化训练Word版含解析

来源:互联网 由 夏日风在吹 贡献 责任编辑:王小亮  

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一、选择题

1.在等比数列{a n }中,公比q =2,前87项和S 87=140,则a 3+a 6+a 9+…+a 87等于( ) A.1403 B .60 C .80

D .160

解析:选C.a 3+a 6+a 9+…+a 87=a 3(1+q 3+q 6+…+q 84)=a 1q 2

×1-(q 3)29

1-q 3=

q 21+q +q 2

×a 1(1-q 87)1-q

=4

7×140=80.故选C.

2.已知数列{a n }中,a 1=a 2=1,a n +2=?

????a n +2,n 是奇数,

2a n ,n 是偶数,则数列{a n }的前20项和为

( )

A .1 121

B .1 122

C .1 123

D .1 124

解析:选C.由题意可知,数列{a 2n }是首项为1,公比为2的等比数列,数列{a 2n -1}是首项为1,公差为2的等差数列,故数列{a n }的前20项和为1×(1-210)1-2+10×1+10×9

2=1 123.选C.

3.已知数列{a n }满足2a 1+22a 2+…+2n a n =n (n ∈N *),数列??????

1log 2a n log 2a n +1的前n 项和

为S n ,则S 1·S 2·S 3·…·S 10=( )

A.110

B.15

C.111

D.211

解析:选C.因为2a 1+22a 2+…+2n a n =n (n ∈N *), 所以2a 1+22a 2+…+2n -1a n -1=n -1(n ≥2),

两式相减得2n a n =1(n ≥2),a 1=12也满足上式,故a n =1

2n ,

1

log 2a n log 2a n +1=1n (n +1)=1n -1

n +1

,

1-12+12-13+…+1n -1n +1=1-1n +1=n

n +1,

所以S 1·S 2·S 3·…·S 10=12×23×34×…×910×1011=1

11

,故选C.

4.(2018·太原模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,点(n ,S n +3)(n ∈N *)在函数y =3×2x

的图象上,等比数列{b n }满足b n +b n +1=a n (n ∈N *),其前n 项和为T n ,则下列结论正确的是( )

A .S n =2T n

B .T n =2b n +1

C .T n >a n

D .T n 解析:选D.因为点(n ,S n +3)(n ∈N *)在函数y =3×2x 的图象上,所以S n =3·2n -3,所以a n =3·2n -1,所以b n +b n +1=3·2n -1,因为数列{b n }为等比数列,设公比为q ,则b 1+b 1q =3,b 2+b 2q =6,解得b 1=1,q =2,所以b n =2n -1,T n =2n -1,所以T n 5.已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n =2n 2

(n ∈N *),且对任意n ∈N *都有1a 1+1a 2+…+1

a n

则实数t 的取值范围为( )

A .(1

3,+∞)

B .[1

3,+∞)

C .(2

3

,+∞)

D .[2

3

,+∞)

解析:选D.依题意得,当n ≥2

时,a n =a 1a 2a 3…a n a 1a 2a 3…a n -1=2

n

2

2(n -1)

2=2

n 2-(n -1)

-1,又a 1

=21=22

×1

-1,因此

22n -1,1122n -1,数列{1a n }是以12为首项,1

4

为公比的等比数列,等

比数列{1a n }的前n 项和等于12(1-14n )1-14=23(1-14n )<23,因此实数t 的取值范围是[2

3

,+∞),

故选D.

6.(2018·河北“五个一名校联盟”模拟)在正整数数列中,由1开始依次按如下规则,将某些数染成红色.先染1;再染两个偶数2,4;再染4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9;再染9后面最邻近的4个连续偶数10,12,14,16;再染此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直染下去,得到一红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,…则在这个红色子数列中,由1开始的第2 018个数是( )

A .3 971

B .3 972

C .3 973

D .3 974

解析:选B.由题意可知,第1组有1个数,第2组有2个数……根据等差数列的前n 项和公式,可知前n 组共有

n (n +1)2个数.由于 2 016=63×(63+1)

2

<2 018<64×(64+1)

2=2 080,因此,第2 018个数是第64组的第2个数.由于第1组最后

一个数是1,第2组最后一个数是4,第3组最后一个数是9,……,第n 组最后一个数是n 2,因此,第63组最后一个数为632,632=3 969,第64组为偶数组,其第1个数为3 970,第2个数为3 972.故选B.

二、填空题

7.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +S m =S n +m (n ,m ∈N *)且a 1=5,则a 8=________. 解析:数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +S m =S n +m (n ,m ∈N *)且a 1=5,令m =1,则S n +1

=S n +S 1=S n +5,即S n +1-S n =5,所以a n +1=5,所以a 8=5.

答案:5

8.(2018·武汉调研)设等差数列{a n }满足a 3+a 7=36,a 4a 6=275,且a n a n +1有最小值,则这个最小值为________.

解析:设等差数列{a n }的公差为d ,因为a 3+a 7=36,所以a 4+a 6=36,

与a 4a 6=275,联立,解得?????a 4=11,a 6=25或?

????a 4=25,a 6=11,

当?????a 4=11,a 6=25时,可得?????a 1=-10,

d =7,

此时a n =7n -17,a 2=-3,a 3=4,易知当n ≤2时,a n <0,当n ≥3时,a n >0,所以a 2a 3=-12为a n a n +1的最小值;

当?????a 4=25,a 6=11时,可得?????a 1=46,d =-7,

此时a n =-7n +53,a 7=4,a 8=-3,易知当n ≤7时,a n >0,当n ≥8时,a n <0,所以a 7a 8=-12为a n a n +1的最小值.

综上,a n a n +1的最小值为-12. 答案:-12

9.(2018·昆明调研)将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵:

a 1a 2,a 3a 4,a 5,a 6a 7,a 8,a 9,a 10

……

记数阵中的第1列数a 1,a 2,a 4,…构成的数列为{b n },S n 为数列{b n }的前n 项和.若S n =2b n -1,则a 56=________.

解析:当n ≥2时,因为S n =2b n -1,所以S n -1=2b n -1-1,所以b n =2b n -2b n -1,所以b n =2b n -1(n ≥2且n ∈N *),因为b 1=2b 1-1,所以b 1=1,所以数列{b n }是首项为1,公比为2的等比数列,所以b n =2n -1.

设a 1,a 2,a 4,a 7,a 11,…的下标1,2,4,7,11,…构成数列{c n },则c 2-c 1=1,c 3

2,c 4-c 3=3,c 5-c 4=4,…,c n -c n -1=n -1,累加得,c n -c 1=1+2+3+4+…+(n -1),所以c n =n (n -1)2+1,由c n =n (n -1)

2+1=56,得n =11,所以a 56=b 11=210

=1 024.

答案:1 024 三、解答题

10.(2018·高考天津卷)设{a n }是等差数列,其前n 项和为S n (n ∈N *);{b n }是等比数列,公比大于0,其前n 项和为T n (n ∈N *).已知b 1=1,b 3=b 2+2,b 4=a 3+a 5,b 5=a 4+2a 6.

(1)求S n 和T n ;

(2)若S n +(T 1+T 2+…+T n )=a n +4b n ,求正整数n 的值.

解:(1)设等比数列{b n }的公比为q .由b 1=1,b 3=b 2+2,可得q 2-q -2=0. 因为q >0,可得q =2,故b n =2n -1. 所以,T n =1-2n 1-2

=2n

-1.

设等差数列{a n }的公差为d .由b 4=a 3+a 5,可得a 1+3d =4. 由b 5=a 4+2a 6, 可得3a 1+13d =16, 从而a 1=1,d =1,故a n =n .

所以,S n =n (n +1)

2.

(2)由(1),有

T 1+T 2+...+T n =(21+22+ (2)

2×(1-2n

)1-2

-n =2n +1-n -2.

由S n +(T 1+T 2+…+T n )=a n +4b n 可得 n (n +1)2+2n +1

=n +2n +1, 整理得n 2-3n -4=0, 解得n =-1(舍),或n =4. 所以,n 的值为4.

11.(2018·陕西教学质量检测(一))已知在递增的等差数列{a n }中,a 1=2,a 3是a 1和a 9

的等比中项.

(1)求数列{a n }的通项公式;

(2)若b n =1(n +1)a n ,S n 为数列{b n }的前n 项和,求S 100的值.

解:(1)设公差为d (d >0), 则a n =a 1+(n -1)d .

因为a 3是a 1和a 9的等比中项, 所以a 23=a 1a 9, 即(2+2d )2=2(2+8d ), 解得d =0(舍去)或d =2. 所以a n =a 1+(n -1)d =2n .

(2)由(1)得b n =1

(n +1)a n =1

2n (n +1)=12?

????1n -1n +1,

所以S 100=b 1+b 2+…+b 100=12×(1-12+12-13+…+1100-1101)=12×????1-1101=50

101. 12.(2018·兰州模拟)已知等差数列{a n }中,a 2=2,a 3+a 5=8,数列{b n }中,b 1=2,其前n 项和S n 满足:b n +1=S n +2(n ∈N *).

(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;

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