南粤风彩36选7走势图.:2019届高考数学二轮复习第二部分专项二专题五3第3讲专题强化训练Word版含解析

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1.(2018·高考全国卷Ⅰ)设椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).

(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;

(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.

解:(1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1.

由已知可得,点A的坐标为.

所以AM的方程为y=-x+或y=x-.

(2)证明:当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°.

当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.

当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1<,x2<,直线MA,MB的斜率之和为kMA+kMB=.

由y1=kx1-k,y2=kx2-k得

kMA+kMB=.

将y=k(x-1)代入+y2=1得

(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0.

所以,x1+x2=,x1x2=.

则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k==0.

从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补.所以∠OMA=∠OMB.

综上,∠OMA=∠OMB.

2.(2018·福州模拟)已知F为椭圆C:=1的右焦点,M为C上的任意一点.

(1)求|MF|的取值范围;

(2)P,N是C上异于M的两点,若直线PM与直线PN的斜率之积为-,证明:M,N两点的横坐标之和为常数.

解:(1)依题意得a=2,b=,所以c==1,

所以椭圆C的右焦点F的坐标为(1,0),

设椭圆C上的任意一点M的坐标为(xM,yM),

=1,

所以|MF|2=(xM-1)2+y=(xM-1)2+3-xx-2xM+4=(xM-4)2,

又-2≤xM≤2,所以1≤|MF|2≤9,

所以1≤|MF|≤3,

所以|MF|的取值范围为[1,3].

(2)证明:设P,M,N三点的坐标分别为(xP,yP),(xM,yM),(xN,yN),

设直线PM,PN的斜率分别为k1,k2,则直线PM的方程为y-yP=k1(x-xP),

联立方程,得消去y,得

(3+4k)x2-8k1(k1xP-yP)x+4kx-8k1xPyP+4y-12=0,

由根与系数的关系可得xM+xP=,

所以xM=-xP=,

同理可得xN+xP=,

又k1·k2=-,

故xN+xP=,

则xN=-xP=-=-xM,

从而xN+xM=0,

即M,N两点的横坐标之和为常数.

3.(2018·潍坊模拟)已知椭圆C:=1(a>b>0)上动点P到两焦点F1,F2的距离之和为4,当点P运动到椭圆C的一个顶点时,直线PF1恰与以原点O为圆心,以椭圆C的离心率e为半径的圆相切.

(1)求椭圆C的方程.

(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A,B,若PA,PB交直线x=6于不同的两点M,N.问以线段MN为直径的圆是否过定点?若是,请求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.

解:(1)由椭圆的定义可知2a=4,a=2,

若点P运动到椭圆的左、右顶点时,直线PF1与圆一定相交,故点P只能在椭圆的上、下顶点,不妨设点P为上顶点(0,b),F1为左焦点(-c,0),

则直线PF1:bx-cy+bc=0,由题意得原点O到直线PF1的距离等于椭圆C的离心率e,所以,

解得b=1,故椭圆C的方程为+y2=1.

(2)由题意知直线PA,PB的斜率存在且都不为0.

设kPA=k,点P(x0,y0),x0≠±2,又A(-2,0),B(2,0),

所以kPA·kPB=·=-,得kPB=-,

直线PA的方程为y=k(x+2),令x=6,得y=8k,

故M(6,8k);

直线PB的方程为y=-(x-2),令x=6,得y=-,故N.

因为yM·yN=8k·=-8<0,所以以线段MN为直径的圆与x轴交于两点,设为G,H,并设MN与x轴的交点为K,在以线段MN为直径的圆中应用相交弦定理得,

|GK|·|HK|=|MK|·|NK|=|8k|·=8,

因为|GK|=|HK|,所以|GK|=|HK|=2,

从而以线段MN为直径的圆恒过两个定点G(6-2,0),H(6+2,0).

4.(2018·高考全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C:=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).

(1)证明:k<-;

(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且=0.证明:||,||,||成等差数列,并求该数列的公差.

解:(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=1.

两式相减,并由=k得·k=0.

由题设知=1,=m,于是k=-.①

由题设得0<m<,故k<-.

(2)由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).

由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.

又点P在C上,所以m=,从而P,||=.

于是||==2-.

同理||=2-.

所以||+||=4-(x1+x2)=3.

故2||=||+||,即||,||,||成等差数列.

设该数列的公差为d,则

2|d|=|||-|||=|x1-x2|

.②

将m=代入①得k=-1.

所以l的方程为y=-x+,代入C的方程,并整理得7x2-14x+=0.

故x1+x2=2,x1x2=,代入②解得|d|=.

所以该数列的公差为或-.

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