南粤风彩26选5开奖时间:2007高考试题 - 数学江苏卷

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数学(江苏卷)

参考公式:

n次独立重复试验恰有k次发生的概率为:()(1)

k k n k

n n

P k C p p-

=-

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的。

1.下列函数中,周期为

2

π

的是(D)

A.sin

2

x

y=B.sin2

y x

=C.cos

4

x

y=D.cos4

y x

=

2.已知全集U Z

=,2

{1,0,1,2},{|}

A B x x x

U

A C B为(A)

A.{1,2}

-B.{1,0}

-C.{0,1}D.{1,2}

3.在平面直角坐标系xOy中,双曲线中心在原点,焦点在y轴上,一条渐近线方程为

20

x y

-=,则它的离心率为(A)

A B.

2

C D.2

4.已知两条直线,m n,两个平面,αβ,给出下面四个命题:(C)

①//,

m n m n

αα

⊥?⊥②//,,//

m n m n

αβαβ

???

③//,////m n m n αα? ④//,//,m n m n αβαβ⊥?⊥ 其中正确命题的序号是

A .①③

B .②④

C .①④

D .②③

5.函数()sin ([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是(D ) A .5[,]6ππ--

B .5[,]66ππ--

C .[,0]3π-

D .[,0]6

π- 6.设函数()f x 定义在实数集上,它的图像关于直线1x =对称,且当1x ≥时,()31x f x =-,则有(B )

A .132()()()323f f f <<

B .231()()()323f f f <<

C .213()()()332f f f <<

D .321()()()233

f f f <<

7.若对于任意实数x ,有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-,则2a 的值为(B ) A .3 B .6 C .9 D .12 8.设2

()lg(

)1f x a x

=+-是奇函数,则使()0f x <的x 的取值范围是(A ) A .(1,0)- B .(0,1) C .(,0)-∞ D .(,0)(1,)-∞+∞

9.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ,'(0)0f >,对于任意实数x 都有

()0f x ≥,则

(1)

'(0)

f f 的最小值为(C ) A .3 B .

52 C .2 D .32

10.在平面直角坐标系xOy ,已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥,则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为(B ) A .2 B .1 C .

12 D .1

4

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。不需要写出解答过程,请把答案直

接填空在答题卡相应位置上。

11.若13

cos(),cos()55

αβαβ+=

-=,.则tan tan αβ= 1/2 . 12.某???门课程供学生选修,其中,,A B C 三门由于上课时间相同,至多选一门,学

校规定每位同学选修4门,共有 75 种不同选修方案。(用数值作答)

13.已知函数3

f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ,则

M m -= 32 .

14.正三棱锥P ABC -高为2,侧棱与底面所成角为45,则点A 到侧面PBC 的距离是

15.在平面直角坐标系xOy 中,已知ABC ?顶点(4,0)A -和(4,0)C ,顶点B 在椭圆

22

12516

x y +=上,则

sin sin sin A C B += 5/4 . 16.某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm ,秒针均匀地绕点O 旋转,当时间0t =时,点A 与钟面上标12的点B 重合,将,A B 两点的距离()d cm 表示成()t s 的函数,则d =

10s i n 60

t

π ,其中[0,60]t ∈。

三、解答题:本大题共5小题,共70分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)某气象站天气预报的准确率为80%,计算(结果保留到小数点后面第2位)

(1)5次预报中恰有2次准确的概率;(4分) (2)5次预报中至少有2次准确的概率;(4分)

(3)5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率;(4分)

解:(1)2

3

25

441611100.055525125p C ????

=-=??≈ ?

?

??

??

(2)4

1

5441110.00640.9955P C ??=-?-=-≈ ???

(3)3

1

444410.02555

P C ??=?-?≈ ???

18.(本小题满分12分)如图,已知1111ABCD A B C D -是棱长为3的正方体,点E 在1AA 上,点F 在1CC 上,且

11AE FC ==,

(1)求证:1,,,E B F D 四点共面;(4分)

(2)若点G 在BC 上,2

3BG =,点M 在1BB 上,

GM BF ⊥,垂足为H ,求证:EM ⊥面11BCC B ;(4分)

(3)用θ表示截面1EBFD 和面11BCC B 所成锐二面角大小,求tan θ。(4分)

解:(1)证明:在DD 1上取一点N 使得DN=1,连接CN ,EN ,显然四边形CFD 1N 是平行四边形,所以D 1F//CN ,同理四边形DNEA 是平行四边形,所以EN//AD ,且EN=AD ,又

1

D

1

A

A

B

C

D

1

C 1

B

M

E

F

H

G

BC//AD ,且AD=BC ,所以EN//BC ,EN=BC ,所以四边形CNEB 是平行四边形,所以 CN//BE ,所以D 1F//BE ,所以1,,,E B F D 四点共面。

(2)因为GM BF ⊥所以BCF ?∽?MBG ,所以MB BG BC CF =,即2

3

32

MB =,所以MB=1,因为AE=1,所以四边形ABME 是矩形,所以EM ⊥BB 1又平面ABB 1A 1⊥平面BCC 1B 1 ,且EM 在平面ABB 1A 1内,所以EM ⊥面11BCC B

(3)EM ⊥面11BCC B ,所以EM ⊥BF ,EM ⊥MH ,GM BF ⊥,所以∠MHE 就是截面1EBFD 和面11BCC B 所成锐二面角的平面角,∠EMH=90?,所以tan ME

MH

θ=

,ME=AB=3,BCF ?∽?MHB ,所以3:MH=BF :1,

=所以

,

所以tan ME

MH

θ=

19、(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,过y 轴正方向上一点(0,)C c 任作一直线,与抛物线2y x =相交于AB 两点,一条垂直于x 轴的直线,分别与线段AB 和直线:l y c =-交于,P Q ,

(1)若2OA OB ?=,求c 的值;(5分)

(2)若P 为线段AB 的中点,求证:QA 为此抛物线的切线;(5分)

(3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由。(4分)

解:(1)设过C 点的直线为y kx c =+,所以()20x kx c c =+>,即2

c --=,设

A ()()1122,,,x y

B x y ,OA =()11,x y ,()22,OB x y =,因为2OA OB ?=,所以

12122x x y y +=,即()()12122x x kx c kx c +++=,()221212122x x k x x kc x x c +-++=

所以2

2

c kc k c --++=,即2

c --=所以()

? ==-舍去

(2)设过Q 的切线为()111y y k x x -=-,/

2y x =,所以112k x =,即

∑11222y x x x y x x x =-+=-,它与y c =-的交点为M 11,22x c

c x ??-- ???

,又

21212,,2222x x y y k k P c ??++??=+ ? ?????

,所以Q ,2k c ??- ???,因为12x x c =-,所以21c x x -=

,

所以M 12,,222

x x k c c ????

?

?????,所以点M 和点Q 重合,也就是QA 为此抛物线的切线。

(3)(2)的逆命题是成立,由(2)可知Q ,2k c ??

- ???

,因为PQ ⊥x 轴,所以,2P k P y ?? ???

因为1

222

x x k

+=,所以P 为AB 的中点。 20.(本小题满分16分)已知 {}n a 是等差数列,{}n b 是公比为q 的等比数列,

11221,a b a b a ==≠,记n S 为数列{}n b 的前n 项和,

(1)若(,k m b a m k =是大于2的正整数),求证:11(1)k S m a -=-;(4分)

(2)若3(i b a i =是某一正整数),求证:q 是整数,且数列{}n b 中每一项都是数列{}n a 中的项;(8分)

(3)是否存在这样的正数q ,使等比数列{}n b 中有三项成等差数列?若存在,写出一个q 的值,并加以说明;若不存在,请说明理由;(4分)

解:设{}n a 的公差为d ,由11221,a b a b a ==≠,知0,1d q ≠≠,()11d a q =-(10a ≠) (1)因为k m b a =,所以()()1

11111k a q

a m a q -=+--,

()()()111121k q m q m m q -=+--=-+-,

所以()()()

()1111111111k k a q a m m q S m a q

q

------=

=

=--

(2)()()2

ㄑ11i b a q a a i a q ==+--,由3i b a =,

所以()()()()2

2

20,q i q q i q i =+----+-=解得,1q =或2q i =-,但1q ≠,

所以2q i =-,因为i 是正整数,所以2i -是整数,即q 是整数,设数列{}n b 中任意一项为

n b a q n N -+=∈,设数列{}n a 中的某一项m a ()m N +∈=()()1111a m a q +--

现在只要证明存在正整数m ,使得n m b a =,即在方程()()1

11111n a q

q -=+--中m

有正整数解即可,()()11

221

111,111

q q m q m q q q q ----=+---==+++-,所以

m q q q -=+++,若1i =,则1q =-,那么2111,222n n b b a b b a -====,当3

i ≥时,因为1122,a b a b ==,只要考虑3n ≥的情况,因为3i b a =,所以3i ≥,因此q 是正整数,所以m 是正整数,因此数列{}n b 中任意一项为

n b a q n N -+=∈与数列{}n a 的第222n q q q -+++

项相等,从而结论成立。

(3)设数列{}n b 中有三项(

)

,,,,,m n p b b b m n p m n p N +

<<∈成等差数列,则有

21

11

111,n m p a q

q ---=+设(),,,n m x p n y x y N +

-=-=∈,所以

21y

x

q q

=

+,令1,2x y ==,则3

210,

q q -+=()()

? q q -+-=,因为1q ≠,所以2

10q q +-=,

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